คณิตศาสตร์ เรื่อง เซต

ในทางคณิตศาสตร์ เราใช้คำว่าเซตในความหมายของคำว่า กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง ชุด และเมื่อกล่างถึงเซตของสิ่งใด ๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่าสมาชิก

นิยามคณิตศาสตร์ เรื่อง เซต

โดย “เซต” เซตหนึ่ง เราหมายถึงการสะสมรวบรวมใดๆ ที่ให้ชื่อว่าเข้าเป็นหน่วยเดียวกันทั้งหมด ของวัตถุที่ให้ชื่อว่าที่แตกต่างกัน (ซึ่งเรียกว่า “สมาชิก” ของตามความเข้าใจของเรา หรือตามความคิดของเรา ดังนั้นสมาชิกของเซตเซตหนึ่งจึงสามารถเป็นอะไรก็ได้ เช่น ตัวเลข ผู้คน ตัวอักษร หรือเป็นเซตของเซตอื่น เป็นต้น เซตต้องเขียนแทนด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C ฯลฯ ตามธรรมเนียมปฏิบัติ ในประโยคที่ว่า เซต A และ B เท่ากัน หมายความว่า ทั้งเซต A และเซต B มีสมาชิกทั้งหมดเหมือนกัน (ตัวอย่างเช่น สมาชิกทุกตัวที่อยู่ในเซต A ก็ต้องเป็นสมาชิกของเซต B ด้วย เขียนแทนด้วย A = B และในทางกลับกันก็เป็นเช่นเดียวกัน เขียนแทนด้วย B = A)

สมาชิกทุกตัวของเซตเซตหนึ่งต้องไม่ซ้ำกัน และจะไม่มีสมาชิกสองตัวใดในเซตเดียวกันที่เหมือนกันทุกประการ ซึ่งไม่เหมือนกับมัลทิเซต (multiset) ที่อาจมีสมาชิกซ้ำกันก็ได้ การดำเนินการของเซตทั้งหมดยังรักษาคุณสมบัติที่ว่าสมาชิกแต่ละตัวของเซตต้อง ไม่ซ้ำกัน ส่วนการเรียงลำดับของสมาชิกของเซตนั้นไม่มีความสำคัญ ซึ่งต่างจากลำดับอนุกรมหรือคู่อันดับ

** ถึงอย่างไรก็ตามเซตถือว่าเป็น อนิยาม ไม่มีนิยามที่ชัดเจนและครอบคลุม **

เซต สมาชิกของเซตประกอบด้วย
เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ วันอาทิตย์, วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, วันพฤหัสบดี, วันศุกร์, วันเสาร์
เซตของจำนวนเต็มบวกที่หารด้วย 5 ลงตัว 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …
เซตของคำตอบของสมการ X2 – 4 = 0 2, -2

การเขียนเซต

นอกจากจะเขียนวงกลมหรือวงรีล้อมรอบสมาชิกทั้งหมดของเซตแล้ว เรายังมีวิธีเขียนเซตได้อีก 2 วิธี ดังนี้

1) วิธีแจกแจงสมาชิก (Tubular form) มีหลักการเขียน ดังนี้

  1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
  2. สมาชิกแต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (,)
  3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
  4. ในกรณีที่จำนวนสมาชิกมาก ๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้อย 3 ตัวแรก แล้วใช้จุด 3 จุด (Tripple dot) แล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2) วิธีบอกเงื่อนไขของสมาชิก (Set builder form) หลักการเขียนมีดังนี้

  1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
  2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย | (| อ่านว่า “โดยที”)่ แล้วตามด้วยเงื่อนไขของตัวแปรนั้น ดังรูปแบบ {x | เงื่อนไขของ x}
เซต แบบแจกแจงสมาชิก แบบบอกเงื่อนไข
A เป็นเซตของจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 5 A = {1, 2, 3, 4} A = {x | x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยกว่า 5}
B เซตของวันในหนึ่งสัปดาห์ B = {วันอาทิตย์, วันจันทร์, วันอังคาร, วันพุธ, วันพฤหัสบดี, วันศุกร์, วันเสาร์} B = {x | x เป็นชื่อวันในหนึ่งสัปดาห์}
C เป็นเซตของตัวอักษรในภาษาอังกฤษ C = {a, b, c, … ,z} C = {y | y เป็นตัวอักษรในภาษาอังกฤษ}

ประเภทของเซต
เซตว่าง (empty or null set)
คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก ใช้สัญลักษณ์ {  }  หรือ เช่น

A = {x / x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 3 = x}  จะได้ A = { }
B เป็นเซตของคนที่มีปีกบินได้ จะได้  B = { }
C =  จะได้  C =

เซตจำกัด (finite set) คือ เซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้  (นับได้ตั้งแต่สมาชิก 0 ตัว 1 ตัว 2 ตัว … n ตัว)  เช่น

A  เป็นเซตของเสาไฟฟ้าภายในโรงเรียนของนักเรียน
B  เป็นเซตของปลาทูในอ่าวไทย  (ถือเป็นเซตจำกัดที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ แต่อาจใช้เวลายาวนานมาก)
C =

D = {1, 2, 3, 4,…,15}  เป็นต้น

หมายเหตุ  เซตว่างจัดเป็นเซตจำกัดประเภทหนึ่งเพราะนับจำนวนสมาชิกได้  0  ตัว

เซตอนันต์(infinite set)  คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด (จำนวนสมาชิกมีมากมาย)   เช่น

A = {1, 2, 3, 4,..}
B =
C  เป็นเซตของจำนวนที่หารด้วย 5 ลงตัว  เป็นต้น

เซตที่เท่ากัน คือ เซตที่มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว นั่นคือ ถ้าสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และ สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เรากล่าวได้ว่า  เซต A เท่ากับ เซต B  เขียนแทนด้วย A = B  เช่น

กำหนดให้  A = {1, 2 , 3}  และ  B = {2, 3 ,1}
จะได้ว่า     A = B
กำหนดให้ T = {2 , 4 , 6} และ  S = {x/x เป็นจำนวนคู่บวก และน้อยกว่า 10}
จะได้ว่า  T S  เพราะว่า เขียน S แบบแจกแจงสมาชิกจะได้ S = {2 , 4 , 6 , 8}

สับเซต (Subsets)
บทนิยาม เซต A เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B  เขียนแทน A เป็นสับเซตของ B ด้วยสัญลักษณ์  
เซต A ไม่เป็นสับเซตของเซต B ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่เป็นสมาชิกของ B  เขียนแทน A ไม่เป็นสับเซตของ B ด้วย  Aimg1.jpgB

ตัวอย่าง   ถ้า  A = {1}  ,  B = {0, 1, 2} , C = {3, 4, 5, 6} , D = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
จะได้   
แต่  Aimg1.jpgC  เพราะ   แต่
Bimg1.jpgC  เพราะ  มีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว คือ 2  ซึ่ง  แต่ 2img1.jpgC
Cimg1.jpgD  เพราะ  แต่  

ข้อสังเกต
1) เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง  นั่นคือ ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แล้ว

2) เซตว่างเป็นสับเซตของเซตทุกเซต นั่นคือ ถ้า A เป็นเซตใด ๆ แล้ว

การดำเนินการของเซต

ยูเนียน (Union)

ถ้ากำหนดเซต A และ B ใดๆ ยูเนียนของเซต A และ B คือ เซตใหม่ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B เขียนแทนด้วย  หรือ       

หรือ

ตัวอย่าง1.   ถ้า  A = {0 , 1 , 2 , 3}  และ  B = {1 , 3 , 5 , 7}

จะได้     = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7}

ตัวอย่าง2.  ถ้า  M = {x / x เป็นจำนวนเต็มบวก}  และ  L = {1 , 2 , 3 , 4}

จะได้    = M

ตัวอย่าง3.  ถ้า  W = {a , s , d , f}  และ  Z = {p , k , b}

จะได้   = {a , s , d , f , p , k , b}

อินเตอร์เซกชัน (intersection)

ถ้ากำหนดเซต A และ B ใดๆ อินเตอร์เซกชันของเซต A และ B คือ เซตใหม่ที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ทั้งใน A และ B เขียนแทนด้วย    หรือ       

และ

 

 ตัวอย่าง1.   ถ้า  A = {0 , 1 , 2 , 3}  และ  B = {1 , 3 , 5 , 7}
จะได้   = {1 , 3}

 

 ตัวอย่าง2.   ถ้า M = {x / x เป็นจำนวนเต็มบวก}  และ  L = {1 , 2 , 3 , 4}
จะได้    = L

ตัวอย่าง3.   ถ้า  W = {a , s , d , f}  และ  Z = {p , k , b}
จะได้   = {  }

คอมพลีเมนต์ (Complement)

กำหนดให้ เซต A เป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์ U คอมพลีเมนต์ของ  A คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ  (U) แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย    (อ่านว่า  เอไพรม์)

 

หมายเหตุ  คอมพลีเมนต์ของเซต A อาจใช้สัญลักษณ์อื่นแทน  เช่น    ,   , C(A) ,  เป็นต้น

 

 ตัวอย่าง1.  ถ้า  U= {0, 1, 2, 3, 4, 5}  และ  A = {0 ,2}
จะได้       = {1, 3,4, 5}

 

 ตัวอย่าง2.  ถ้า   U= {0, 1, 2, 3, … }  และ  C = { x/x เป็นจำนวนคู่}
จะได้   =  { x /x U และ x เป็นจำนวนคี่ }

ผลต่าง (relative complement or difference)

ผลต่างระหว่างเซต A และเซต B คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกของเซต A ซื่งไม่เป็นสมาชิกของเซต B  ผลต่างระหว่างเซต A และ B เขียนแทนด้วย  A – B

A – B = และ

หมายเหตุ  ผลต่างระหว่าง เซต A และ เซตB ไม่เท่ากับ ผลต่างระหว่างเซต B และ เซต A นั่นคือ

 ตัวอย่าง1. ถ้า  A= {0, 1, 2, 3, 4}  และ  B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7}
จะได้  A – B = {0, 1, 2}  และ  B – A  = {5 , 6 , 7}

 ตัวอย่าง2.  ถ้า  U= {1, 2, 3, … }  และ  C = { x/x เป็นจำนวนคู่บวก}
จะได้   U
-C = {x/x เป็นจำนวนคี่บวก}

เพาเวอร์เซต

ถ้า A เป็นเซตใด ๆ เพาเวอร์ของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นสับเซตทั้งหมดของ A เขียนแทนด้วย P(A)

เซต A P(A)
{}
{a} {, {a}}
{a, b} {, {a}, {b}, {a, b}}
{a, b, c} {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

เอกภพสัมพัทธ์

เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซตนี้เท่านั้น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ แทนเซตที่เป็นเอกภพสัมพัทธ์

A เป็นเซตของจำนวนนับที่มีค่าน้อยกว่า 5 สมาชิกในเซต A ต้องเลือกมาจากเซตของจำนวนนับเท่านั้น ซึ่งได้แก่ 1, 2, 3, 4 ดังนั้น เซตของจำนวนนับทั้งหมดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ หรือ
คือเซตของจำนวนนับ
B เป็นเซตของจำนวนเต็มที่เป็นคำตอบ
ของสมการ (2x – 1)(x + 4) = 0
สมาชิกของ B ต้องเลือกมาจากเซตจำนวนเต็มเท่านั้น ซึ่งได้แก่ -4 ดังนั้น
เซตของจำนวนเต็มทั้งหมดจึงเป็นเอกภพสัมพัทธ์ หรือ
คือเซตของจำนวนเต็ม
หมายเหตุ ในเรื่องที่เกี่ยวข้องกับระบบจำนวน ถ้าไม่ระบุแน่ชัดว่าเชตใดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ให้หมายถึงเซตของจำนวนจริงเป็นเอกภพสัมพัทธ์เสมอ

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler)  เพื่อแสดงความสัมพันธ์ระหว่างเซตนิยมเขียนรูปสี่เหลียมมุมฉากแทนเอกภพสัมพัทธ์ (U) และใช้รูปวงกลม วงรี  หรือรูปปิดใด ๆ แทนเซตต่างๆ  ซึ่งเป็นสับเซตของ U

ลักษณะต่าง ๆ ของการเขียนแผนภาพ

1. ถ้า A และ B เป็นเซตที่ไม่มีสมาชิกร่วมกัน  

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ แบบที่1

 

 

2. ถ้า  A และ B เป็น เซตที่มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน (ไม่ทั้งหมด)

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ แบบที่2

 

3. ถ้า     แต่  

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ แบบที่3

 

 

4. ถ้า A = B

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ แบบที่4

Tags: , , , , , , ,